第1章　热传导方程1

11　引言1

12　一维杆中热传导方程的推导2

13　边界条件11

14　平衡温度分布14

141　给定温度14

142　绝热边界16

15　二维或三维热传导方程的推导19

第2章　分离变量法32

21　引言32

22　线性性质32

23　在有限端处具有零温度的热传导方程35

231　概述35

232　分离变量35

233　时变常微分方程37

234　边值问题38

235　乘积解和叠加原理43

236　正弦函数的正交性46

237　实例48

238　小结50

24　有关热传导方程的例子：其他边值问题55

241　绝热端杆中的热传导55

242　细绝热圆环中的热传导59

243　边值问题小结64

25　拉普拉斯方程：求解和定性性质67

251　矩形区域内的拉普拉斯方程67

252　圆盘内的拉普拉斯方程72

253　绕过圆柱体的流体流动（升力）76

254　拉普拉斯方程的定性性质79

第3章　傅里叶级数86

31　引言86

32　收敛定理88

33　傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数92

331　傅里叶正弦级数92

332　傅里叶余弦级数102

333　用正弦级数和余弦级数表示f(x)105

334　偶部和奇部106

335　连续傅里叶级数107

34　傅里叶级数的逐项微分112

35　傅里叶级数的逐项积分123

36　傅里叶级数的复形式127

第4章　波动方程：振动弦与振动膜130

41　引言130

42　弦振动方程的建立130

43　边界条件133

44　端点固定的振动弦137

45　振动膜143

46　电磁波与声波的反射与折射145

461　斯涅耳折射定律146

462　反射波与折射波的强度（振幅）148

463　内部全反射149

第5章　施图姆–刘维尔特征值问题151

51　引言151

52　例子151

521　非均匀杆内的热流151

522　圆对称热流153

53　施图姆–刘维尔特征值问题155

531　一般分类155

532　正则施图姆–刘维尔特征值问题156

533　定理的举例和说明157

54　例子：非均匀杆中的无热源热流163

55　自伴算子和施图姆–刘维尔特征值问题167

56　瑞利商184

57　例子：非均匀弦的振动189

58　第三类边界条件192

59　大特征值（渐近行为）207

510　逼近性质211

第6章　偏微分方程的有限差分数值法217

61　引言217

62　有限差分与截断泰勒级数217

63　热传导方程224

631　概述224

632　偏差分方程224

633　计算226

634　傅里叶–冯·诺伊曼稳定性分析228

635　偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解235

636　矩阵记号238

637　非齐次问题242

638　其他数值格式242

639　其他类型的边界条件243

64　二维热传导方程247

65　波动方程250

66　拉普拉斯方程253

67　有限元法260

671　非正交函数逼近（偏微分方程的弱形式）260

672　最简三角形有限元263

第7章　高维偏微分方程268

71　引言268

72　时间变量的分离269

721　振动膜：任意形状269

722　热传导：任意区域271

723　小结272

73　振动矩形膜272

74　特征值问题?φ+φ= 0的定理叙述和说明282

75　格林公式、自伴算子和多维特征值问题287

76　瑞利商和拉普拉斯方程293

761　瑞利商293

762　依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程294

77　振动圆形膜和贝塞尔函数295

771　概述295

772　分离变量296

773　特征值问题（一维情形）297

774　贝塞尔微分方程299

775　奇异点和贝塞尔微分方程299

776　贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近）301

777　涉及贝塞尔函数的特征值问题302

778　振动圆形膜的初值问题304

779　圆对称情形305

78　贝塞尔函数的进一步讨论312

781　贝塞尔函数的定性性质312

782　特征值的渐近公式313

783　贝塞尔函数的零点和结点曲线314

784　贝塞尔函数的级数表示316

79　圆柱体上的拉普拉斯方程319

791　概述319

792　分离变量320

793　侧面及顶部或底部为零温度的情形322

794　顶部和底部为零温度的情形323

795　修正贝塞尔函数326

710　球内的问题和勒让德多项式330

7101　概述330

7102　分离变量和一维特征值问题330

7103　连带勒让德函数和勒让德多项式332

7104　径向特征值问题335

7105　乘积解、振动模式和初值问题335

7106　球内部的拉普拉斯方程336

第8章　非齐次问题341

81　引言341

82　有源热流与非齐次边界条件341

83　带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数）347

84　利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件）353

85　受迫振动膜与共振358

86　泊松方程366

第9章　定常问题的格林函数374

91　引言374

92　一维热传导方程374

93　常微分方程边值问题的格林函数379

931　一维稳态热传导方程379

932　参数变易法379

933　格林函数的特征函数展开法382

934　狄拉克δ函数及其与格林函数的关系384

935　非齐次边界条件391

936　小结392

94　弗雷德霍姆择一性与广义格林函数398

941　概述398

942　弗雷德霍姆择一性400

943　广义格林函数402

95　泊松方程的格林函数409

951　概述409

952　多维狄拉克δ函数与格林函数410

953　用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性411

954　格林函数的直接解法（一维特征函数）（可选）413

955　用格林函数解带非齐次边界条件的问题415

956　无穷空间格林函数416

957　用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数419

958　用无穷空间格林函数求半无穷平面（y>0）的格林函数：像源法420

959　圆的格林函数：像源法423

96　扰动特征值问题430

961　概述430

962　数学例子431

963　拟圆膜振动432

97　小结435

第10章　无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法437

101　引言437

102　无穷域上的热传导方程437

103　傅里叶变换对441

1031　傅里叶级数恒等式的启示441

1032　傅里叶变换442

1033　高斯函数的傅里叶逆变换443

104　傅里叶变换与热传导方程450

1041　热传导方程450

1042　傅里叶变换热传导方程：导数的变换455

1043　卷积定理457

1044　傅里叶变换性质小结461

105　傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程463

1051　概述463

1052　半无穷区间上的热传导方程Ⅰ463

1053　傅里叶正弦和余弦变换465

1054　导数的变换466

1055　半无穷区间上的热传导方程Ⅱ467

1056　傅里叶正弦和余弦变换表469

106　应用变换求解的例子473

1061　无穷区间上的一维波动方程473

1062　半无穷带上的拉普拉斯方程475

1063　半平面上的拉普拉斯方程479

1064　四分之一平面上的拉普拉斯方程482

1065　平面上的热传导方程（二维傅里叶变换）486

1066　二重傅里叶变换表490

107　散射和逆散射495

第11章　波动方程和热传导方程的格林函数499

111　引言499

112　波动方程的格林函数499

1121　概述499

1122　格林公式500

1123　互反性502

1124　使用格林函数504

1125　波动方程的格林函数506

1126　格林函数的另一个微分方程506

1127　一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解507

1128　三维波动方程的无穷空间格林函数（惠更斯原理）509

1129　二维无穷空间格林函数511

11210　小结511

113　热传导方程的格林函数514

1131　概述514

1132　热传导方程的非自伴特性515

1133　格林公式516

1134　伴随格林函数517

1135　互反性518

1136　用格林函数表示解518

1137　格林函数的另一个微分方程520

1138　扩散方程的无穷空间格林函数521

1139　热传导方程的格林函数（在半无穷域上）522

11310　热传导方程的格林函数（在有限区域上）523

第12章　线性和拟线性波动方程的特征线法527

121　引言527

122　一阶波动方程的特征线528

1221　概述528

1222　一阶偏微分方程的特征线法529

123　一维波动方程的特征线法534

1231　通解534

1232　初值问题（无穷区域）536

1233　达朗贝尔解540

124　半无界弦和反射543

125　定长振动弦的特征线法548

126　拟线性偏微分方程的特征线法552

1261　特征线法552

1262　交通流量553

1263　特征线法(Q=0)555

1264　冲击波558

1265　拟线性举例570

127　一阶非线性偏微分方程575

1271　由波动方程推导出的短时距方程575

1272　求解均匀介质中的短时距方程和反射波576

1273　一阶非线性偏微分方程579

第13章　偏微分方程的拉普拉斯变换解法581

131　引言581

132　拉普拉斯变换的性质581

1321　概述581

1322　拉普拉斯变换的奇点582

1323　导数的变换586

1324　卷积定理587

133　常微分方程初值问题的格林函数591

134　波动方程的信号问题593

135　有限长度振动弦的信号问题597

136　波动方程及其格林函数600

137　用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换603

138　利用拉普拉斯变换求解波动方程（复变量）608

第14章　色散波：缓变、稳定性、非线性性和扰动法611

141　引言611

142　色散波和群速度612

1421　行波和色散关系612

1422　群速度Ⅰ615

143　波导617

1431　对f频率集中周期性源的响应620

1432　模式传播的格林函数620

1433　模式不传播的格林函数621

1434　设计思路622

144　光纤623

145　群速度Ⅱ和稳定相位法627

1451　稳定相位法628

1452　对线性色散波的应用630

146　缓变色散波（群速度和焦散曲线）634

1461　色散偏微分方程的近似解634

1462　焦散曲线的形成636

147　波包络方程（集中波数）642

1471　薛定谔方程643

1472　线性化KdV方程645

1473　非线性色散波：KdV方程647

1474　孤立子与逆散射650

1475　非线性薛定谔方程652

148　稳定性和不稳定性656

1481　常微分方程和分歧理论简介656

1482　偏微分方程稳定平衡解的基本例子663

1483　偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成664

1484　不适定问题667

1485　微不稳定色散波和线性化复金茨堡–朗道方程668

1486　非线性复金茨堡–朗道方程670

1487　长波的不稳定性67