前言
第一篇复变函数理论
第1章复数和复变函数1
1.1复数及其运算1
1.2复变函数3
1.3解析函数6
1.4解析函数的物理意义13
1.5初等解析函数15
第2章复变函数的积分19
2.1复积分的概念与性质19
2.2柯西积分定理21
2.3柯西积分公式24
第3章复变函数的级数29
3.1复数项级数的基本性质29
3.2幂级数32
3.3解析函数的泰勒级数展开36
3.4解析函数的洛朗级数展开40
3.5孤立奇点和无穷远点44
3.6解析延拓和Γ函数49
第4章留数理论及其应用53
4.1留数和留数定理53
4.2留数的计算55
4.3应用留数理论计算实变函数定积分59
4.4应用留数理论计算实变函数无穷积分61
第二篇积分变换理论
第5章傅里叶变换65
5.1完备正交函数集65
5.2傅里叶级数67
5.3傅里叶积分和傅里叶变换75
5.4δ函数及其傅里叶积分82
第6章拉普拉斯变换87
6.1运算法87
6.2拉普拉斯变换的概念89
6.3拉普拉斯变换的性质91
6.4拉普拉斯变换的逆变换93
第7章Z变换100
7.1Z变换的概念100
7.2Z变换的性质103
7.3逆Z变换105
7.4Z变换的应用108
第三篇数学物理方程与特殊函数理论
第8章数学物理方程导出与定解理论112
8.1数学物理方程导出112
8.2定解条件122
8.3数学物理方程定解理论129
8.4二阶线性偏微分方程分类130
第9章行波法136
9.1二阶线性偏微分方程的通解和行波解136
9.2达朗贝尔公式138
9.3泊松公式142
9.4纯强迫振动147
9.5推迟势151
第10章 分离变量法154
10.1一维波动方程的分离变量法154
10.2一维热传导方程的分离变量158
10.3二维和三维问题的分离变量161
10.4圆域上二维拉普拉斯方程的分离变量165
10.5非齐次方程与非齐次边界条件169
第11章 正交曲线坐标系中的分离变量177
11.1正交曲线坐标系177
11.2正交曲线坐标系中的分离变量181
第12章 常微分方程的级数解法及特殊函数理论189
12.1常微分方程的级数解法189
12.2常点邻域上的级数解193
12.3勒让德多项式的性质199
12.4连带勒让德多项式205
12.5球函数及其性质208
12.6正则奇点邻域上的级数解211
12.7贝塞尔函数的性质217
12.8贝塞尔方程本征值问题222
12.9虚宗量贝塞尔函数227
12.10球贝塞尔函数229
12.11施图姆刘维尔型方程与本征值问题232
第13章 柱坐标系和球坐标系中的分离变量解法237
13.1拉普拉斯方程定解问题求解237
13.2输运方程定解问题求解249
13.3波动方程定解问题求解260
第14章积分变换法265
14.1傅里叶变换法解数学物理定解问题265
14.2拉普拉斯变换法解数学物理定解问题270
第15章格林函数法274
15.1无界问题的格林函数274
15.2泊松方程边值问题的格林函数法284
15.3电像法与狄利克雷问题的格林函数288
15.4有限空间中含时间的格林函数293
第16章 保角变换法296
16.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系296
16.2常用的保角变换298
习题参考答案305
参考文献320